曼德尔球

曼德尔球被称为曼德尔布罗特集的“三维延伸”，以其极度精细、无限递归的结构，为我们打开了一扇窥见数学与艺术完美融合的窗口。

什么是曼德尔球？

简单来说，曼德尔球可以被看作是著名的曼德尔布罗特分形在三维空间的一种尝试性延伸。它得名于此结构呈现的球状外观及与曼德尔布罗特集的亲缘关系。

需要注意的是，并不存在一个唯一且绝对标准的“三维曼德尔布罗特集”。这是因为曼德尔布罗特集紧密依赖于拥有两个维度的复数及其运算法则，而在三维空间中，找不到一个在数学性质上能与复数完全匹配的数字系统。虽然有使用四元数在四维空间中构建曼德尔布罗特集的方法，但其细节表现力通常被认为不及二维曼德尔布罗特集。

背后的数学奥秘

理解了为何直接扩展到三维会遇到困难，就能更好地欣赏曼德尔球的巧妙之处。

曼德尔布罗特集的生成依赖于复数的平方和加法运算（`Zₙ₊₁ = Zₙ² + C`）。复数构成的二维空间恰好满足了这一需求。但当人们试图在三维空间中寻找类似的数字系统时，遇到了根本性障碍。数学中的赫维茨定理指出了可在其上定义良好除法的赋范可除代数的局限性，实数（1D）、复数（2D）、四元数（4D）和八元数（8D）是可能的，但唯独跳过了三维。这意味着无法找到一个三维的数字系统，使其像复数那样完美支持曼德尔布罗特集的迭代计算。

既然在纯粹的数系扩展上走不通，丹尼尔·怀特和保罗·尼兰德转换思路，他们不再拘泥于寻找完美的三维复数，而是直接从几何角度入手，尝试在三维空间中复制曼德尔布罗特集的迭代动力学特性。他们采用了球坐标系**，对一个三维向量 `⟨x, y, z⟩` 定义了新的“n次方”运算公式：

其中 `r` 是向量的模长，`θ` 和 `φ` 是角度参数。

随后，他们使用迭代公式 `z ↦ zⁿ + c`，这里的 `zⁿ` 按上述定义计算，而 `+` 则是向量的加法。当幂次 `n > 3` 时，通过此方法能迭代生成具有复杂分形表面的三维球状结构，其表面的“叶片”状细节由参数 `n` 控制。在许多视觉呈现中，采用的是 `n = 8` 的设置。

️ 曼德尔球的视觉呈现与影响

曼德尔球复杂而迷人的结构，需要通过计算机图形学技术（如光线追踪）和专门的软件来渲染和探索。例如，有名为 Mandelbulb 3D 的软件专门用于生成这类3D分形分形艺术。

由于其独特的视觉魅力，曼德尔球的概念和形象也走出了数学领域，影响了电影视觉特效，例如《奇异博士》中展现的多元宇宙场景和《超时空要塞》中的虫洞效果，都曾借鉴或应用了类似曼德尔球的分形结构。

希望这些信息能帮助你初步了解曼德尔球这一奇妙的存在。如果你对分形几何的某个特定方面，或者如何自己尝试生成这类图像感兴趣，我很乐意提供更多信息。